所報 106

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－　　－37Some Limit Laws for Quantum Walks with Applications to a Version of the Parrondo ParadoxTakuya MACHIDA and F. Alberto GRÜNBAUMA discrete-time quantum walker moves on the line with four coin states, operated by two coin-flip operations and a po-sition-shift operation alternately at each step. The time evolution is described by a unitary process. We focused on the probability that we would find the quantum walker at each position, and demonstrated long-term limit theorems for the probability distribution. The limit theorems were derived by Fourier analysis. The quantum walker localized and ex-hibited a ballistic behavior. Our two results showed up as limit theorems for a two-period time-dependent walk and the location of the walker was clarified after the unitary process was repeated a large number of times. The theorems were also helpful for obtaining some of the Parrondo type behavior in a quantum game that was numerically studied by J. Rajendran and C. Benjamin. With our limit theorems we found the “phase space” of the parameters of a quantum game, similar to the winning game in their papers. We also numerically demonstrated that our two quantum games show a Par-rondo paradox.Keywords: Quantum walk, Limit theorem, Parrondo paradoxある４状態量子ウォークの長時間極限定理の導出と パロンドパラドクスへの応用　１次元格子上で運動が定義される４状態量子ウォークに対し、長時間極限定理を導出した。量子ウォークのシステムはヒルベルト空間上で記述され、2種類のユニタリ作用素が交互にシステムに作用することによって量子ウォーカーの波動関数が空間的に拡散する。量子ウォーカーを観測するための確率分布は、波動関数から定義される。量子ウォークの確率分布に対する長時間極限定理を、フーリエ解析を用いて導出し、長時間後の量子ウォークの振舞いを明らかにした。一方、量子情報の分野では、ある量子ゲームにおいてパラドクス（パロンドパラドクス）が生じることが数値解析にて報告されていた。導出した量子ウォークの極限定理を、その量子ゲームの解析に応用することで、パロンドパラドクスが生じることを数学的に証明することができた。キーワード：量子ウォーク，極限定理，パロンドパラドクスJournal（掲載誌）Quantum Information Processing, Vol.17(9), 241 (2018)Published Paper