所報 104

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－　　－33Published PaperMorse Indices of the Solutions to the Liouville-Gel’fand Problem with Variable CoecientsTomohiko SATO and Takashi SUZUKIIn this paper, we consider the Liouville-Gel’fand problem with variable coefficients in a two-dimensional bounded do-main with smooth boundary, and a sequence of l-point interior blow-up solutions to this problem. It is well-known that the l-tuple of blow-up points of the solution is a critical point of the Hamiltonian associated with point vortex system by Nagasaki-Suzuki in 1990 for constant coefficients, and by Ma-Wei in 2001 for variable coefficients, respectively.We proved, first, an exact relation between Morse indices of the blow-up solution and those for the critical point of the Hamiltonian. Second, we proved a precise asymptotic behavior of eigenvalues up to the 3l-th of the linearized eigen-value problem to the Liouville-Gel’fand problem. In order to prove them, we use the scaling argument, the approximate eigenfunctions, and the Min-Max principle. The results are natural extensions of those for constant coefficients, which was studied by Gladiali-Grossi-Ohtsuka-Suzuki in 2014.However, several technical difficulties occur in variable coefficients of the considered problem, and hence we had to employ the Taylor expansion of the natural logarithm of variable coefficients near the critical point of the Hamiltonian. Then we have precise estimates for each term of the Taylor expansion, which are important for showing the results.Keywords: Liouville-Gel’fand problem, Point vortex, Hamiltonian, Morse index関数係数を持つリュービル-ゲルファント問題の解のモース指数対応　境界が滑らかな 2 次元有界領域において，境界で0とするディリクレ条件をもつリュービル・ゲルファント問題（方程式(L-G)：－Δv=λVev）を考える。ここでΔはラプラシアン，λは正のパラメーター，V=V(x)>0は滑らかな関数係数であり，v=v(x)はλに対する解である。この (L-G) についてはNagasaki-Suzuki (1990) やMa-Wei (2001) により爆発機構の量子化，解の特異極限の分類，さらに点渦系のハミルトニアンによる爆発点の制御について研究され，特に，爆発点はハミルトニアンの臨界点である。本論文では (L-G)，λ=λk→+0 (k=1, 2, …) に対して領域内部 l 点の爆発解v=vkを考え，さらに (L-G) の線形化固有値問題を考える。爆発解は，各爆発点に収束する領域内部のある点列 {xk} に対し vk (xk)→∞ (k→∞) を満たす解（の列）である。　主結果は，l点爆発解の（拡張）モース指数と爆発点におけるハミルトニアンの（拡張）モース指数との関係，および線形化固有値問題の第3l固有値までの漸近挙動である。ここで爆発解のモース指数は線形化固有値問題の1未満，拡張モース指数は1以下の固有値のそれぞれ重複を区別した個数である。また，ハミルトニアンのモース指数は，ハミルトニアンのヘッセ行列の負の固有値，拡張モース指数は0以下の固有値，のそれぞれ重複を区別した個数で与えられる。主結果は (L-G) のV≡1の場合を考えた先行結果（Gladiali-Grossi-Ohtsuka-Suzuki, 2014）の拡張である。議論の流れは基本的に先行結果に従い，爆発点近傍のスケーリングによる爆発解析を行う。さらに固有関数の近似およびミニ・マックス原理を用いてレイリー商を評価することによって結果を得る。この時 (L-G) の両辺を偏微分した式を考えるが，関数係数Vの偏微分を持つ項が発生し先行結果と比べて大きく異なる。このため，爆発点においてVの自然対数をテイラー展開し，詳細な評価を行った。キーワード：リュービル・ゲルファント問題，点渦系，ハミルトニアン，モース指数Journal（掲載誌）FE (Funkcialaj Ekvacioj) Vol. 61, No. 2, 229-265, June 2018