日本大学生産工学部研究報告A(理工系)第52巻第2号
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─ 23 ─を得る。ユニタリ行列R(k)(R(k)U)2の固有値λj(k)(j=1, 2)と,その固有値に対応する正規化固有ベクトルを│vj(k)〉(j=1, 2) を用いると, (k)〉|ψ^3t(k)〉|ψ^0(k)〉,|vj=2tλ(k)〈v(k)1=Σjjj⒄となり,行列R(k)(R(k)U)2の固有空間におけるフーリエ変換の表現を得る。十分大きな時刻tに対し,フーリエ変換のr回微分 (r=0, 1, 2, …) は, (k)〉|ψ^3t+O(t )0〉〈v (k)φ〉,|||c=(t)2t-rr-1+O(t )1〉|cr-1rλ(k)1=Σjjjv (k)〉jrλ(k)j´dkrdr⒅となり,│ψˆ3t(k)〉の共役転置 (k)〈ψ^3t|=2tλ(k)・1=Σjj,〈v (k)φ〉||j〈v (k)j⒆との積をとることで, (k)|〈ψ^3t〈v (k)   〉|||=(t)22r1=Σjj(k)0rλ(k)j´λ(k)j(k)〉|ψ^ψ^3tdkrdr+O(t ),r-1⒇と計算される。したがって,r=0, 1, 2, ...に対し,r次モーメントxZEP∈=Σ3trrx(X )3t(X =x)のフーリエ変換を用いた表現 3t〈v (k) 〉dk|||=(t)・22r1=Σjjrλ(k)ij´λ(k)jφ12π+O(t ),r-1πr-πE(X)を得る。よって, 3t〈v (k) (k)〉dk,|||=221=Σjjrrλ(k)ij´λ(k)3j12π(3t)πr-πE(X)limt→∞0ψ^となり,確率変数X3t/3tのモーメント収束 3t〈v (k) (k)〉dk,|||=221=Σjjrλ(k)ij´λ(k)3jr3tXElimt→∞0ψ^12ππ-πが分かる。ここで,ヒルベルト空間ℋcの基底を, 0〉=10,|c1〉=01,|cととり,cosθ=c, sinθ=s の省略を用いると,ユニタリ作用素 =+R(k)(R(k)U),2c3ike22sike-cse3ikcseik+2c-3ike2s-ike+-cse-3ikcse-ikの二つの固有値は, λ(k)=j2c2scos 3k+cos k-(-1),j21-(ci22scos 3k+cos k)と計算される。固有値λj(k)に対応する正規化固有ベクトル│vj(k)〉としては, 2c2ssin 3k+1sin k-2cs e2iksin k+(-1)×,j21-(c22scos 3k+cos k)v (k)〉=|jN (k)jがとれる。ただし,Nj(k)(j=1, 2) は正規化定数であり, s222cos k)cos 3k+N(k)=2 1-(c ×,jj21-(c22scos 3k+cos k)2+(-1)(c2ssin 3k+sin k)である。以上の固有値,固有ベクトルを用いて,式において,iλ́j(k)/3λj(k)=x(j=1, 2)の置換積分を実行すると, ∞-∞(α,β; x)f(x)I (x)x1-=ν(α,β;-x)f(-x)I (x)dx,1++ν3trr3tXElimt→∞12を得る。このモーメント収束は,確率変数X3t/3tの分布収束(式⑹)の成立を保証する。5.課  題θ0≠θ1のときは,解析的な結果は得られていない。この場合は,iλ́j(k)/3λj(k)(j=1, 2)の逆関数が煩雑であり,いまだに極限密度関数の明示的な表現が得られていない。Figs.1,2は確率分布を表しており,それぞれに対応する確率分布の時間発展の振舞いは,Figs.3,40 0.01-1000-5000 500 1000x0 0.01-1000-5000 500 1000x⒜θ0=π/4, θ1=2π/5    ⒝θ0=π/4, θ1=π/3Fig. 1 Probability distribution at time 1000       (α=1/√2, β=i/√2)

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